7 НАЙБІЛЬШИХ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАГАДОК ТИСЯЧОЛІТТЯ

    Часто, розмовляючи з учнем про дослідницькі роботи з математики, чую наступне: "Що можна нового відкрити в математиці?" А дійсно: може бути всі великі відкриття зроблені, а теореми доведені?

8 серпня 1900 року на міжнародному математичному конгресі в Парижі математик Девід Гілберт (David Hilbert) виклав список проблем, які, як він вважав, належало вирішити в ХХ столітті. У списку було 23 пункти. Двадцять один з них на даний момент вирішені. Останньою вирішеною проблемою зі списку Гілберта була знаменита теорема Ферма, з якою вчені не могли впоратися протягом 358 років. У 1994 році своє рішення запропонував британець Ендрю Уайлз. Воно і виявилося вірним.

За прикладом Гілберта в кінці минулого століття багато математики намагалися сформулювати такі стратегічні завдання на ХХІ століття. Один з таких списків придбав широку популярність завдяки бостонського мільярдерові Лендону Клею (Landon T. Clay). У 1998 році на його кошти в Кембриджі (штат Массачусетс, США) був заснований Математичний інститут Клея (Clay Mathematics Institute) і встановлені премії за вирішення ряду найважливіших проблем сучасної математики. 24 травня 2000 року експерти інституту вибрали сім проблем - по числу мільйонів доларів, виділених на премії. Список отримав назву Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформульована в 1971 році)

Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете, щоб переконатися, що там же знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, то достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. У відсутність цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що рішення якої-небудь задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності рішення.

 Стівен Кук сформулював проблему: чи може перевірка правильності розв'язання задачі бути більш тривалою, ніж саме отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки. Ця проблема також є однією з невирішених завдань з області логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, використовуваної при передачі і зберіганні даних.

2. Гіпотеза Рімана (сформульована в 1859 році)

 Деякі цілі числа не можуть бути виражені як добуток двох менших цілих чисел, наприклад, 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими і грають важливу роль в чистій математиці і її додатках.

 Розподіл простих чисел серед усіх натуральних чисел не підпорядковується ніякій закономірності. Проте німецький математик Рімана висловив припущення, що стосується властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотеза Рімана буде доведена, то це призведе до революційної зміни наших знань в області шифрування і до небаченого прориву в області безпеки Інтернету.

3. Гіпотеза Берча і Свиннертон-Дайєра (сформульована в 1960 році)

Пов'язана з описом безлічі рішень деяких алгебраїчних рівнянь від декількох змінних з цілими коефіцієнтами. Прикладом такого рівняння є вираз x2 + y2 = z2. Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для більш складних рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.

4. Гіпотеза Ходжа (сформульована в 1941 році)

 У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об'єкта прості "цеглинки", які склеюються між собою і утворюють його подобу. Гіпотеза Ходжа пов'язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких "цеглинок" і об'єктів.

5. Рівняння Нав'є - Стокса (сформульовані в 1822 році)

Якщо плисти в човні по озеру, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, в повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що ці та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Нав'є - Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і при цьому навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що розв'язок існує і є досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро - і аеродинамічних розрахунків.

6. Проблема Пуанкаре (сформульована в 1904 році)

Якщо натягнути гумову стрічку на яблуко, то можна, повільно переміщуючи стрічку без відриву від поверхні, стиснути її до точки. З іншого боку, якщо ту ж саму гумову стрічку відповідним чином натягнути навколо бублика, то ніяким способом неможливо стиснути стрічку в точку, не розриваючи стрічку або не ламаючи бублик. Кажуть, що поверхня яблука однозв’язна, а поверхня бублика - ні. Довести, що однозв’язна тільки сфера, виявилося настільки важко, що математики шукають правильну відповідь до сих пір.

7. Рівняння Янга - Міллса (сформульовані в 1954 році)

 Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг і Міллс, виявивши зв'язок між геометрією і фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об'єднання теорій електромагнітного, слабкого і сильного взаємодій. З рівнянь Янга - Міллса випливало існування частинок, які дійсно спостерігалися в лабораторіях по всьому світу, тому теорія Янга - Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається передбачати маси елементарних частинок.